[백준] 9020: 골드바흐의 추측 (javascript)

1. Link

9020번: 골드바흐의 추측

2. 문제

1보다 큰 자연수 중에서  1과 자기 자신을 제외한 약수가 없는 자연수를 소수라고 한다. 예를 들어, 5는 1과 5를 제외한 약수가 없기 때문에 소수이다. 하지만, 6은 6 = 2 × 3 이기 때문에 소수가 아니다.
골드바흐의 추측은 유명한 정수론의 미해결 문제로, 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다는 것이다. 이러한 수를 골드바흐 수라고 한다.
또, 짝수를 두 소수의 합으로 나타내는 표현을 그 수의 골드바흐 파티션이라고 한다. 예를 들면, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7, 14 = 3 + 11, 14 = 7 + 7이다. 10000보다 작거나 같은 모든 짝수 n에 대한 골드바흐 파티션은 존재한다.2보다 큰 짝수 n이 주어졌을 때, n의 골드바흐 파티션을 출력하는 프로그램을 작성하시오.
만약 가능한 n의 골드바흐 파티션이 여러 가지인 경우에는 두 소수의 차이가 가장 작은 것을 출력한다.

입력 > 첫째 줄에 테스트 케이스의 개수 T가 주어진다. 각 테스트 케이스는 한 줄로 이루어져 있고 짝수 n이 주어진다.
출력 > 각 테스트 케이스에 대해서 주어진 n의 골드바흐 파티션을 출력한다. 출력하는 소수는 작은 것부터 먼저 출력하며, 공백으로 구분한다.

3. | 예제 입력

      

      

      

    
    

      <javascript />
    
3
8
10
16

4. | 예제 출력

      

      

      

    
    

      <javascript />
    
3 5
5 5
5 11

 

5. 제출

5.1. 첫 번째 제출

케이스별로 소수를 구하고, 골드바흐 파티션 구하기 (시간🔼, 메모리🔼)

      

      

      

    
    

      <javascript />
    
const input = (
  process.platform == "linux"
    ? require("fs").readFileSync("/dev/stdin").toString()
    : `3
      8
      10
      16`
)
  .split("\n")
  .map(Number);

let i = 1;

while (i <= input[0]) {
  let n = input[i];

  const isPrimeNumber = new Array(n + 1).fill(true);
  isPrimeNumber[0] = isPrimeNumber[1] = false;

  for (let i = 2; i <= Math.ceil(Math.sqrt(n)); i++) {
    if (!isPrimeNumber[i]) {
      continue;
    }

    for (let j = i * 2; j <= n * 2; j += i) {
      isPrimeNumber[j] = false;
    }
  }

  const primeNumber = [];

  for (let i = 2; i < n; i++) {
    if (isPrimeNumber[i]) {
      primeNumber.push(i);
    }
  }

  const partition = [];

  for (let i = 0; primeNumber[i] <= n / 2; i++) {
    const index = primeNumber.indexOf(n - primeNumber[i]);
    if (index !== -1) {
      partition.push([primeNumber[i], primeNumber[index]]);
    }
  }

  const answer = partition.pop();

  console.log(`${answer[0]} ${answer[1]}`);

  i++;
}

 

5.2. 두 번째 제출 

문제에서 주어진 n의 범위에 따라 소수를 구해놓고 케이스별로 골드바흐 파티션 구하기 (시간👍, 메모리👍)

      

      

      

    
    

      <javascript />
    
const input = (
  process.platform == "linux"
    ? require("fs").readFileSync("/dev/stdin").toString()
    : `3
      8
      10
      16`
)
  .split("\n")
  .map(Number);

// 에라토스테네스의 체를 이용하여 2부터 10,000까지 소수 구하기
const n = 10000;
const isPrimeNumber = new Array(n + 1).fill(true);
isPrimeNumber[0] = isPrimeNumber[1] = false;

for (let i = 2; i <= Math.ceil(Math.sqrt(n)); i++) {
  if (!isPrimeNumber[i]) {
    continue;
  }

  for (let j = i * 2; j <= n * 2; j += i) {
    isPrimeNumber[j] = false;
  }
}

const primeNumber = [];

for (let i = 2; i < n; i++) {
  if (isPrimeNumber[i]) {
    primeNumber.push(i);
  }
}

// 테스트 케이스별로 골드바흐 파티션 구하기

for (let i = 1; i <= input[0]; i++) {
  const n = input[i];
  const partition = [];

  for (let i = 0; primeNumber[i] <= n / 2; i++) {
    const index = primeNumber.indexOf(n - primeNumber[i]);
    if (index !== -1) {
      partition.push([primeNumber[i], primeNumber[index]]);
    }
  }

  const answer = partition.pop();

  console.log(`${answer[0]} ${answer[1]}`);
}

 

6. 풀이과정

케이스별로 에라토스테네스의 체를 사용하여 소수를 구한 뒤, a + b = N이라는 것을 이용해서

(주어진 수 - a)가 소수인 경우를 partition 배열에 담아 출력한다.

 

만약 가능한 n의 골드바흐 파티션이 여러 가지인 경우에는 두 소수의 차이가 가장 작은 것을 출력한다.

문제의 마지막 조건을 성립하는 파티션을 출력하기 위해서 for문의 조건식을 수정해야한다.

      

      

      

    
    

      <javascript />
    
// 이전의 for문
for (let i = 0; i < n; i++)

// 수정된 for문
for (let i = 0; primeNumber[i] <= n / 2; i++)

 

수정하기 전에 partition 배열을 출력해보면 아래와 같이 출력된다.

n = 8, [ [ 3, 5 ], [ 5, 3 ] ]
n = 10, [ [ 3, 7 ], [ 5, 5 ], [ 7, 3 ] ]
n = 16, [ [ 3, 13 ], [ 5, 11 ], [ 11, 5 ], [ 13, 3 ] ]

 

따라서 primeNumber[i]가 n / 2 보다 작거나 같을 때까지만 a 부분을 탐색하면 partition의 맨 끝 값이 두 소수의 차이가 가장 작은 경우가 된다.

 

++) 테스트 케이스 별로 소수를 구해서 골드바흐 파티션을 구하는 것이 더 적은 메모리를 차지할 줄 알았는데 생각보다 큰 메모리 차지와 시간이 걸렸다.

 

문제에서 n을 4부터 10,000으로 제한했으므로 2부터 10,000까지의 소수를 구하고, 테스트 케이스별로 골드바흐 파티션을 구하는 로직을 수행하는 것이 더 적은 메모리를 차지한다.

 

 

 

7. 개념

7.1. 에라토스테네스의 체

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[백준] 1929: 소수 구하기 (javascript)

 

[백준] 4948: 베르트랑 공준 (javascript)

 

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